Pythonで学ぶ高校数学の美しい物語（ビュフォンの針）

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私は昔塾で数学を教えていました。

今回は、「ビュフォンの針」ということで、前回に引き続き確率論の内容で、とっても面白いです！楽しんで読んでください！

前回は、「モンテカルロ法」で円周率の近似値を求めました。
今回は、「ビュフォンの針」で円周率の近似値を求めていきます！

2021年8月12日 Pythonで学ぶ高校数学の美しい物語（モンテカルロ法）

プログラミングスクールに関しては下の記事で詳しく記述しています。

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ビュフォンの針とは

ビュフォンの針とは、18世紀の博物学者である、ジョルジュ＝ルイ・ルクレール、コント・ド・ビュフォンが提起した数学上の問題です。

彼は、多数の平行線が描かれている床に針を落とすと、平行線と針が交わる確率は、円周率を使って表現できることを数学的に確立しました。この問題は、積分と幾何学を用いることで解けます。

適当に落とした針が平行線が交わる本数を数えることで確率が求まります。

昔の偉人は、コンピュータを使わずにビュフォンの実験を行っていたらしいです！

その結果がこちら！

ランキング	名前	年	投げた回数	導いた円周率
1位	ウルフ	1800年代	5000	3.1596
2位	ラッツァリーニ	1901	3408	3.1415929
3位	スミス・ダベルディーン	1855	3204	3.1553
4位	レイナ	1925	2520	3.1795
5位	フォックス大尉	1864	1030	3.1595

すでにかなり良い精度で近似値が得られていますが、今回は、もっと回数を多くするため、文明の利器を用いて10万回までシミュレーションしてきます！

円周率の求め方

理屈を知りたい方は、wikipediaか高校数学の美しい物語を参照してください。

wikipedia は数式で理解したい人向け、高校数学の美しい物語は図も多く用いられているため理解しやすいと思います。

今回の記事で重要なのは、最終的な確率と積分によって求められた等式です。

平行線の間隔：d
針の長さ：l（エル）
すべての針の本数：N
平行線と交わる針の本数：n

$$\frac{n}{N}=\frac{2l}{πd}(l \leq d)$$

$$\frac{n}{N}=\frac{2l}{πd}(1-\sqrt{1-\frac{d^{2}}{l^{2}}})+1-\frac{2}{π}\arcsin(\frac{d}{l})(l>d)$$

これらの式を「π」について解くと

$$π=\frac{2Nl}{nd}$$

$$π=\frac{2Nl}{d(n-N)}(1-\sqrt{1-\frac{d^{2}}{l^{2}}}-\arcsin(\frac{d}{l}))$$

プログラム作成

コメントでコードの解説をしていきます。

読みやすいコードを記述しているつもりですがわからなければコメントを残してくれると嬉しいです。

関数「Buffon」


def Buffon():
    n = 0 # 針と平行線が交わる本数のカウント用
    N = int(input("針の本数 n："))
    d = int(input("平行線の幅 d："))
    l = int(input("針の長さ l："))

    # インスタンス生成
    root = tk.Tk()

    # ウィンドウのタイトル設定
    root.title("Buffon's needle")

    # ウィンドウサイズ設定
    root.geometry("450x450")

    # 描画領域
    h = 450
    w = 450

    # キャンバスのエリア設定
    canvas = tk.Canvas(root, bg="white", height=h, width=w)
 
    # 平行線を描写
    for i in range(h // d):
        # 端点(x1, y1)と(x2, y2)を結ぶ直線を描写
        canvas.create_line(0, i * d, w, i * d)

    # ランダムな針を生成
    for i in range(N):
        x1 = random.uniform(d, w - d)
        y1 = random.uniform(d, h - d)
        theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)

        x2 = x1 + l * math.cos(theta)
        y2 = y1 + l * math.sin(theta)

        # 平行線と針が交わる時
        if (y1 // d) != (y2 // d):
            n += 1
            canvas.create_line(x1, y1, x2, y2, fill = "red")

        # 交わらない時
        else:
            canvas.create_line(x1, y1, x2, y2)
     

    # 最後にバインド。位置合わせ。
    canvas.place(x = 0, y = 0)
    print("π：", calc(n, N, l, d))

    root.mainloop()

関数「calc」

「math.sqrt」で平方根を求めることが出来ます。また、「math.asin」で「arcsin」の結果を返してくれます。


# 記事内で解説した通りの式
def calc(n, N, l, d):
    if l <= d:
        return (2 * N * l) / (n * d)
    else:
        return (2 * N * l / d * (n - N)) * (1 - math.sqrt(1 - d ** 2 / l ** 2) - math.asin(d / l))

メイン関数

関数「Buffon」を呼び出します。


if __name__ == "__main__":
    Buffon()

全体コード

最後にすべてをまとめたコードを載せます。コピペして実行してみると面白いです。


import tkinter as tk
import random
import math

def Buffon():
    n = 0
    N = int(input("針の本数 n："))
    d = int(input("平行線の幅 d："))
    l = int(input("針の長さ l："))

    root = tk.Tk()
    root.title("Buffon's needle")
    root.geometry("450x450")

    h = 450
    w = 450

    canvas = tk.Canvas(root, bg="white", height=h, width=w)
 
    for i in range(h // d):
        canvas.create_line(0, i * d, w, i * d)
        
    for i in range(N):
        x1 = random.uniform(d, w - d)
        y1 = random.uniform(d, h - d)
        theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)

        x2 = x1 + l * math.cos(theta)
        y2 = y1 + l * math.sin(theta)

        if (y1 // d) != (y2 // d):
            n += 1
            canvas.create_line(x1, y1, x2, y2, fill = "red")
        else:
            canvas.create_line(x1, y1, x2, y2)
     
    canvas.place(x = 0, y = 0)
    print("π：", calc(n, N, l, d))

    root.mainloop()


def calc(n, N, l, d):
    if l <= d:
        return (2 * N * l) / (n * d)
    else:
        return (2 * N * l / d * (n - N)) * (1 - math.sqrt(1 - d ** 2 / l ** 2) - math.asin(d / l))

if __name__ == "__main__":
    Buffon()